LA PARADOJA DEL BARBERO

Entre los habitantes de una aldea hay un, y solo un, barbero. Es un hombre pulcro, respetado, que afeita a todos los hombres de la aldea que no se afeitan a sí mismos, y solo a ellos. Estos son los hechos. La pregunta es: “quien afeita al barbero?”.

En principio parece razonable quye el barbero se afeite a sí mismo: Pero en ese caso viola el requerimiento de afeitar a todos los aldeanos que no se afeitan a sí mismos. Y si no se afeita a sí mismo, viola el requerimiento de afeitar a todos los aldeanos que no se afeitan a si mismo. Pues bién: ¿Quién afeita al barbero de la aldea?

Esta paradoja fue publicada en 1918 por el filósofo ingles Bertrand Russell. Si se la reduce a sus términos más sencillos, se descubre que hay dos conjuntos de aldeanos: Los que se afeitan a sí mismos y los que no lo hacen y, por consiguiente, son afeitados por el barbero. La verdadera pregunta es, ¿a cual de los dos grupos pertenece el barbero? La realidad es que no pertenece a ninguno de los dos porque, como se demuestra más arriba, su existencia llevaría a la conclusión contradictoria de que él se afeita a sí mismo y solo si no lo hace. Como señala el filósofo norteamericano Willard V. Quine, esa paradoja es en si misma una demostración valida de que el barbero no puede existir: aparentemente es un ejemplo clásico de reducción al absurdo.s de la paradoja es paralela a la de la otra, también de Russell, referida al conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos. Esta última paradoja publicada en 1901, tuvo gran influencia sobre el pensamiento matemático del siglo XX. El matemático alemán Gottlob Frege, creador e la lógica matemática moderna definió su importancia con tres palabras: “la aritmética tiembla”.

El meollo de la paradoja de Russell es la tesis de que a cada descripción o cualidad especifica corresponde a un conjunto; vale decir, para construir un conjunto se debe especificar la condición necesaria  y suficiente para ser elemento de él. Así la condición especifica fuera la de ser satélite de la Tierra en el año 100 a.C.”

Si se especificara el conjunto de satélites artificiales de la tierra en el año 100”, se obtendría un conjunto carente de elementos pero que no por ello dejaría de ser un conjunto. Eso es lo que se denomina un conjunto vacio.

La antinomia de Russell se refiere a los conjuntos que son o no elementos de sí mismos. Es evidente que algunos conjuntos de objetos no son elementos de sí mismos; por ejemplo, el conjunto de satélites de la tierra en 1980 no es elemento de si mismo porque no se encuentra alrededor de la tierra. Y el conjunto de todos los libros de entretenimientos lógicos tampoco es elemento de sí mismo puesto que como han señalado los lógicos norteamericanos James Carney y Richard Scheer, no tiene paginas, texto, encuadernación ni precio.

El hecho de que algunos conjuntos de objetos no sean elementos de sí mismos no significa que ninguno lo sea. Véase, por ejemplo, el conjunto de todos los conjuntos que contienen más de diez elementos. Este incluye numerosos conjuntos entre otros el conjunto de todos los satélites artificiales de la tierra en 1980, el conjunto de todos los libros de entrenamientos, el conjunto de todos los gatos, el de todos los perros, el de todas las aves, el de todas las víboras, el de toso los camellos, el de todos los gorriones y el de tosas las palomas, por no hablar del conjunto de los vegetales, el de todos los arboles, el conjunto de todas las algas, y así sucesivamente. Por consiguiente, no cabe duda de que el conjunto de todos los conjuntos que contienen más de diez elementos y por ello es elemento de sí mismo. Caso contrario, no sería el conjunto de todos los conjuntos que poseen sea característica.

Volvamos a los conjuntos que no son elementos de sí mismos: el de los satélites artificiales, elk de los libros de entrenamientos lógicos, etcétera. La pregunta es: “ ¿Es el conjunto de todos los con juntos que no son elementos de sí mismos un elemento de sí mismo?” para facilitar la exposición sea X el conjunto de todos los conjuntos que no son  elementos de sí mismos. Si se dice que X es un elementos de sí mismos, entonces por definición no lo es porque X sólo comprende los conjuntos que no son elementos de sí mismos, entonces si lo es, porque X considera todos los elementos que no son elementos de sí mismo: sin embargo el principio del tercero excluido requiere que sea una cosa o la otra. Dicho en lenguaje cotidiano, esto significa que el conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos no es elemento de sí mismo y solo es un elemento de si mismo. Evidentemente aquí hay una contradicción.

Para resolver la paradoja del conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos Russell descartó el principio de la abstracción. Llegó a la conclusión de que dicho conjunto no es un conjunto. Como dice Quine en su ensayo “The Ways of Paradox”.

No es fácil abandonar el principio [conjunto] se recurre casi invariablemente al método de establecer una condición, se tiene la sensación de haber “establecido” el [conjunto] y no se puede concebir que tal [conjunto] no exista. Puede tratarse de un [conjunto]  vacio, sí, ¿pero como puede ser que tal [conjunto] no exista? ¿Qué contenido se le puede exigir, que no este previsot en la condición necesaria para ser elemento de él? Sin embargo, de nada sirven estos argumentosante al realidad de la antinomia, lo cual demuestra simplemente el principio es insostenible. Bien vistas las cosa, la lógica, elemental indica que no existe un [conjunto], vacio o no, cuyos elementos sean precisamente los [conjuntos] que no son elementos de sí mismos. Sería un elemento de sí mismo si solo si no lo fuera.

Russell rechazó el concepto de que cada predicado corresponde un conjunto, es dicir, qu para cada propiedad o característica existe necesariamente un conjunto cuyos elementos poseen esa propiedad  o característica. El consideraba que los predicados que suscitaban consecuencias contradictorias carecían de significado porque no generaban un conjunto. Como señala Quine en el pasaje reproducido más arriba el solo intento de definir un conjunto no demuestra su existencia, porque al definir un conjunto solo se presupone la posibilidad  de su existencia. Sin embargo es evidente que la definición de un conjunto para ser válida, debe satisfacer, entre  otras condiciones de existencia, el principio de que ellas no deben ser autocontradictorias. Así como no pue3de definir una figura afirmando que es un” círculo cuadrado”, porque “circulo” y “cuadrado” son conceptos contradictorios, tampoco se puede definir un conjunto en términos de características contradictorias.

Russell pudo eliminar la paradoja al sugerir que no se aplique el principio de abstracción en aquellas situaciones donde la condición para ser elemento incluye la calidad de elemento. Ese recurso, efectivamente, elimina la paradoja y permite el empleo del principio de abstracción en ls ramas de la matemática donde el concepto de conjunto es de importancia secundaria o tangencial. Con todo, esta restricción tuvo consecuencias tremendas para la teoría general de conjuntos. Obligó al empleo de subíndices para distinguir entre distintos niveles de lenguaje; caso contrario, los lógicos no hubieran podido aceptar esa restricción. La solución de Russell a su paradoja de los conjuntos se asemeja en este aspecto a la solución de Alfred Tarski a la paradoja del mentiroso. Las dos soluciones obligan al estudioso a descartar conceptos profundamente arraigados en la intuición, referidos a los conjuntos y a la verdad.

Existen otros métodos para eliminar la contradicción inherente a la paradoja del conjunto de Russell. Uno de ellos requiere la elaboración de una teoría de conjuntos basada en la lógica polivalente, no en la clásica lógica bivalente del verdadero o falso. En ese sistema la negación pierde significado tradicional y por consiguiente se puede concebir un conjunto que sea un elemento de sí mismo y a la vez no lo sea.